Hoe maak je een Möbius ring in marmer?

De Möbius ring is een fascinerende vorm die je je moeilijk kunt voorstellen: een ring met maar één zijde, die geen boven of onder, binnen of buiten kent. Als je één lijn trekt op het vlak kom je ononderbroken weer bij het beginpunt uit. En dat is bij een gewone ring met twee zijden natuurlijk niet het geval. 

Een Möbius ring met papier maken is heel simpel: neem een strip papier, vouw de uiteinden naar elkaar, draai een uiteinde half om en lijm ze aan elkaar. Simpel, maar hoe maak je deze vorm in steen? 




Voorbeeld projecten

“Wherever You Go, There You Are”
Op internet ging ik op zoek naar voorbeelden. De Amerikaanse beeldhouwer Kevin Caron bouwde een speciale variant van de Möbius ring –de zogenaamde Umbillic Torus- van ijzer en plaatstaal. Het hele productieproces van dit gigantische beeld is te volgen via de YouTube video’s -How to Create a Sculpture, Part 1/14. 


In die video's wordt goed duidelijk hoe je een Möbius ring van binnenuit kunt opbouwen. Dat is een groot verschil met beeldhouwen in steen, waar je alleen aan de buitenkant kunt werken. Maar door die binnenkant te zien ontstaan, begreep ik beter hoe de vorm gestalte krijgt.



Kevin Caron
In zijn project bestaat de ring uit één vlak (eigenlijk noem je dat een torus, een driedimensionaal omwentelingslichaam) dat 120 graden draait. Dat vlak is aan de binnenkant weer gebaseerd op 60 driehoeken die ieder 2 graden draaien, bij elkaar dus 120 graden. Caron gebruikt daarvoor geen driehoeken maar deltoïdes, en dat geeft een andere vorm, namelijk de Umbilic Torus, bedacht en in brons uitgevoerd door beeldhouwer en wiskundige Helaman Ferguson.

Helaman Ferguson: Umbilic Torus Stony Brook





















Voor een Möbius ring kunnen we dus driehoeken, vierkanten of deltoïdes gebruiken, met telkens een andere uiteindelijke vorm.Een goed voorbeeld van een Möbius ring met driehoekjes is deze stalen variant.


Maquette van Möbius ring

Ik besloot eerst een maquette te maken van ijzerdraad, houten driehoekjes en gips. Ieder driehoekje heeft een gat in het midden waar de centrale ijzeren ring door gaat. Door elk hoekje loopt een ijzerdraadje, dus er zijn drie draden. Het resultaat is een ring met 60 driehoekjes die ieder 2 graden draaien tov de het vorige driehoekje, zodat de 120 graden wordt gehaald bij één omwenteling. 
Om met je vinger vanaf een startpunt weer bij het beginpunt uit te komen zijn drie omwentelingen nodig (door de drie zijden van de driehoek). Bij vierkantjes heb je dan natuurlijk vier omwentelingen nodig (zie deze video van beeldhouwer Jim Milner). Bekleed met gips krijg je een mooie gelijkmatige Möbius ring. 



Nu in marmer


Maar hoe doe je dat in een blok van steen? Het blijkt dat de aanpak met de draaiende driehoekjes heel bruikbaar is voor het beeldhouwen van een Möbius ring in steen.
Uitgangspunt was een blok in marmer (calacatta) van 39 bij 12 centimeter. 
Van dit blok gaan we eerst een ‘wiel’ maken met een gat in het midden.
We beschouwen het wiel als een vierkante band (torus) die in een ring gebogen is. Binnen dat vierkant gaan de driehoekjes draaien en dat betekent dat het vierkant groot genoeg moet zijn om alle standen van de driehoekjes erin te laten passen. 

Ze draaien binnen cirkel en zo kun je uitrekenen welke maten nodig zijn.
Onze steen was 12 centimeter dik dus dat betekende dat de band ook 12 cm breed moest zijn. Dat betekende weer dat het gat in het midden 15 centimeter moest zijn (12+12+15= 39). Met een cirkelstraal binnen het vierkant van 12x12 van 6 centimeter, kan de zijde van driehoek berekend worden: 10,39, afgerond 10,5 cm. De hoogtelijn van de driehoek is dan 9 cm. De Möbius ring wordt dus 10,5 centimeter (gelijkzijdige driehoek van 10,5 cm). De hoeken binnen de driehoek zijn 60 graden. 

 Op de derde tekening is te zien hoe de driehoek binnen de cirkel gaat draaien en waarom we dus een vlak van 12 bij 12 centimeter nodig hebben om die beweging te kunnen uithakken.
De volgende stap is dat we de ring verdelen in 60 (vierkante) partjes, vervolgens moeten we aangeven hoe die driehoekjes daarbinnen gaan bewegen. 
Het probleem is: hoe kunnen we er voor zorgen dat elk driehoekje telkens twee graden verschuift ten opzichte van de vorige? Daar is een mooie oplossing voor, dankzij deze tekening van op een Japanse website over de Möbius strip waarop aan de hand van de kleuren de posities van de driehoek goed te volgen zijn. 

Mobius strip Figure [2]: The cross-section of loop is a regular triangle. This triangle turns as 1, 2,  and 3 every circuit by 120 each, and gets back to the original location by three circuits.



















Het onderschrift geeft de posities van de driehoekjes aan per 120 graden omwenteling, maar wij willen ook de tussenposities zien. Daarom verdelen we de ring in vier gelijke delen gelijke delen van ieder vijftien driehoekjes. Die vier posities moeten telkens 15*2=30 graden draaien ten opzichte van de de voorgaande. Om dat duidelijk te maken zetten de Japanse Mobius strip rechtop en dan voegen we de posities van de driehoekjes toe. We gaan tegen de klok in. Als positie 1 nemen het driehoekje waarbij de groene zijde horizontaal ligt. In positie 2 is de rode zijde verticaal. In positie 3 is geel horizontaal en in positie 4 is groen weer verticaal. Positie 1 en 4 zijn elkaars spiegelbeeld, net als 2 en 4. Nu we de posities weten van de vier punten kunnen we de lijnen daartussen trekken op de steen zodat de vorm zichtbaar wordt. 

 

Hakken in marmer

We beginnen met de driehoek met de punt naar boven op positie 1, uit het vierkante blok halen we er dus aan de onderkant 3 cm vanaf (12 min de hoogte 9) en halen we de zijdes eruit. Dan wordt de eerste driehoek zichtbaar.
Vervolgens trekken we een lijn vanaf de bovenste punt van driehoek 1 naar de punt van driehoek 2. Die bevindt zich op 3 cm van de buitenkant. Om de lijn te trekken kun je 15 stappen van 2 mm doen om uit te komen op 3 cm. 
De lijnen naar de andere twee punten van driehoek 2 worden nu vanzelf duidelijk, volg de 60 graden per hoek.
Dit zijn de precieze maten, neem bij het hakken wat meer ruimte om eventueel te corrigeren en om de randen te beschermen. Ga bijvoorbeeld uit van ongeveer 11 cm per zijde.
Er moet veel van de steen gehaald worden, maar maak eerst een ruwe versie en ga er dan steeds meer vanaf halen met tandbeitel en vlakbeitel.





Als de steen rechtop staat zie je duidelijk dat het eerste driehoekje een vlakke zijde heeft die horizontaal staat. Bij positie 2 staat een ander vlak verticaal aan de voorkant. Positie drie heeft weer een horizontaal vlak en positie vier weer een verticaal, maar aan de andere kant dan positie 2. Zo vormen de vier tegenover elkaar liggende driehoekjes elkaar spiegelbeeld. Zie volgende foto. 
Het is nu een kwestie van afwerken door middel van tandbeitels en vlakbeitels. Het is de bedoeling dat de vorm in de steen scherper wordt. Alle vlakken dienen uiteindelijk 10,5 centimeter te zijn en alle hoeken 60 graden. Voorzichtigheid is geboden op de randen van de vorm om te voorkomen dat er stukken afbreken. Je kunt ook op de randen een klein vlakje laten staan om later af te werken. 






In het volgende stadium ga je aan de slag met een ruwe diamant vijl, vervolgens met steedse fijnere vijlen tot je toe bent aan schuurpapier, beginnend bij korrel 80 en oplopend tot korrel 1200. Tenslotte gebruik je polijstpoeder die je met jute opbrengt. Vier rondes zijn nodig voor hoogglans. Tenslotte afwerken met polijstwas voor binnen of steenwas voor buiten. 

   


Meer voorbeelden

at
Subscribe to: Posts (Atom)